[2015년 정발고]

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[2학년 2학기 중간 미적분2]

[eqn: 0<a<b<1], [eqn: 1<x<y]일 때, 대소 관계가 옳은 것은? [3.8점]

②

① [eqn: a ^{x}<a ^{y}]	② [eqn: a ^{x} <b ^{x}]	③ [eqn: log _{a} x <log _{a} y]

④ [eqn: log _{a} x <log _{b} x]	⑤ [eqn: log _{b} y >log _{x} y]

정의역이 [eqn: LEFT { `x`|`5LEQ x LEQ31 RIGHT }]인 함수 [eqn: y=log _{{1} over {3}} (x-4)+2]의 최댓값과 최솟값의 합은? [3.8점]

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

크기가 [eqn: theta]인 각이 제[eqn: 3]사분면의 각이고 [eqn: sintheta=- {4} over {5}]일 때,
[eqn: 15(costheta+tantheta)]의 값은? [3.9점]

①

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

방정식 [eqn: 4 ^{2x+1} =1-24]의 해를 [eqn: a]라 하고 [eqn: log` _{3} (3x+1)=0]의 해를 [eqn: b]라고 할 때, [eqn: a+b]의 값은? [3.9점]

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

극한값 [eqn: lim _{x-> 1} {2x ^{{`1} over {x-1}}}]은? [4.0점]

②

① [eqn: e]	② [eqn: 2e]	③ [eqn: 3e]

④ [eqn: 4e]	⑤ [eqn: 5e]

함수 [eqn: f(x)=sin`x]에 대하여
[eqn: lim _{h-> 0} {{f(pi+h)-f(pi+5h)} over {h}}]
의 값은? [4.1점]

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

극한값 [eqn: lim _{x-> 0} {{a ^{x} +b} over {sinx}} =ln`5][eqn: (a>0,```a != 1)]을 만족하는 상수 [eqn: a+b]의 값은? [4.2점]

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: {sin`2x} over {1-cos`2x}]을 간단히 하면? [4.3점]

⑤

① [eqn: sin`x]	② [eqn: cos`x]	③ [eqn: cosec`x]

④ [eqn: sec`x]	⑤ [eqn: cot`x]

방정식 [eqn: cos`x+`cos`2x=0]의 모든 해의 합을 구하면?
(단, [eqn: 0` LEQ `x` PREC 2pi]) [4.4점]

③

① [eqn: pi]	② [eqn: 2pi]	③ [eqn: 3pi]

④ [eqn: 4pi]	⑤ [eqn: 5pi]

[eqn: lim _{x-> INF } {f(x)`ln LEFT ( 1+ {2} over {x} RIGHT ) =3}]을 만족하는 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 극한값 [eqn: lim _{x-> INF } {{f(x)} over {2x}}]를 구하면? [4.5점]

③

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {3} over {4}]

④ [eqn: {5} over {4}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

[eqn: y=- sqrt {3} `sinx+cosx+1]는 최댓값이 [eqn: a]이고, [eqn: x=theta]일 때 최솟값을 갖는다. [eqn: tan`theta]의 값은 [eqn: b]라 할 때, 상수 [eqn: ab]의 값은? [4.6점]

⑤

① [eqn: - {1} over {2}]	② [eqn: -1]	③ [eqn: - sqrt {3}]

④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -3 sqrt {3}]

극한값 [eqn: lim _{x-> 0} {{x} over {e ^{x} +e ^{2x} +e ^{3x} +` CDOTS +e ^{10x} -10}}]을 구하면 [eqn: {b} over {a}]([eqn: a], [eqn: b]는 서로소)이다. 이때, [eqn: a+b]의 값은? [4.7점]

①

① [eqn: 56]	② [eqn: 58]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 62]	⑤ [eqn: 64]

두 직선 [eqn: y=mx-1]과 [eqn: y= {1} over {3} x]가 이루는 예각의 크기가 [eqn: 45`DEG]일 때, 양수 [eqn: m]의 값은? [4.8점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: x>0]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=x ^{2} `ln`x]에 대하여 [eqn: lim _{x-> 1} {{f(x ^{2} )} over {x-1}}]의
값은? [4.9점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x)= LEFT | log _{2} x RIGHT |], [eqn: g(x)=2 ^{x}]이고, [eqn: a>1], [eqn: b>1]일 때, 보기에서 항상 옳은 것을 있는 대로 고른 것은? [5.0점]

④

ㄱ. [eqn: k< -1]이면 [eqn: f(x)=x+k]는 실근 한 개를 갖는다.

ㄴ. [eqn: f(a+1)-f(a)< f(a+2)-f(a+1)]

ㄷ. [eqn: f LEFT ( {1} over {a} RIGHT ) <f LEFT ( {1} over {b} RIGHT )]이면 [eqn: g(a)<g(b)]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 직선 [eqn: 2x+y-2=0] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]에서 원 [eqn: (x+1) ^{2} +(y+1) ^{2} =1]에 그은 두 접선이 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos`theta]의 최솟값은? [5.1점]

③

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {2} over {5}]	③ [eqn: {3} over {5}]

④ [eqn: {4} over {5}]	⑤ [eqn: 1]

서술형

함수 [eqn: y=cosx]를 미분하기 위해 주어진 문제에 답하시오.

(1) [eqn: sin`h} le h le tan `h]에서 [eqn: cos`h le { sin`h} over { h} le 1]이다.

[eqn: h->0]을 취하면, [eqn: lim_h->0+ { sin`h} over { h}=1]

(2) [eqn: lim _{h -> 0-} {} {sin`h} over {h} =lim _{t->0+} {sin(-t)} over {-t} =lim _{t->0+} {sint} over {t} =1]

(3) [eqn: lim _{h -> 0} {} {cos(x+h)-cosx} over {h} = lim _{h -> 0} {} {cosx`cos`h-sinx`sin`h-cosx} over {h}# ```````````````````````````````````````````````````````````````````````````= lim _{h -> 0} {} LEFT ( cosx {cos`h-1} over {h} -sinx {sin`h} over {h} RIGHT )# ```````````````````````````````````````````````````````````````````````````=cosx CDOT 0-sinx CDOT 1]

(1) [eqn: 0<h<{pi} over {2}]일 때, [eqn: lim _{h-> 0+} {{sin `h} over {h} =1}]임을 대소관계를 이용하여

증명하시오. [3점]

(2) [eqn: - {pi} over {2}<h<0]일 때, [eqn: lim _{h-> 0-} {{sin`h} over {h} =1}]임을 [eqn: lim _{h-> 0+} {{sin`h} over {h} =1}]과

치환을 이용하여 증명하시오. [2점]

(3) 함수 [eqn: y=cosx]의 도함수가 [eqn: y prime=-sinx]임을 도함수의 정의를

이용해서 증명하시오. [5점]

연립부등식 [eqn: {cases{log _{2} (x ^{2} +y ^{2} -3)<1#log _{0.2} y>log _{0.2} x}}]를 만족하는 점 [eqn: (x,```y)]가 나타내는 영역에 대하여 주어진 문제에 답하시오.

(1) [eqn: {pi} over {4}]

(2) [eqn: 5]

(1) 영역의 넓이를 구하는 과정과 답을 서술하시오.[6점]

(2) 연립부등식을 만족하는 점 [eqn: (x,```y)]에 대하여 [eqn: 2x+y]의

최댓값을 구하는 과정과 답을 서술하시오. [4점]

좌표평면에서 중심이 원점 [eqn: rmO]이고 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원 위의 점 [eqn: rmP]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmQ], 점 [eqn: rmA(0,```2)]와 점 [eqn: rmP]를 지나는 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmR]이라 하자. [eqn: rmANGLE QOP= theta]라 하고 삼각형 [eqn: rmPQR]의 넓이가 [eqn: S(theta)]라 할 때, 주어진 문제에 답하시오. (단, 점 [eqn: rmP]는 제[eqn: 1]사분면 위의 점이다.)

(1) [eqn: y= {sintheta-1} over {costheta} x+2]

(2) [eqn: 2]

(1) 점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: theta]에 관하여 나타내고 [eqn: dyad{rmAP}]의 방정식을

구하시오. [4점]

(2) [eqn: lim _{theta-> 0+} {{S(theta)} over {theta ^{2}}}]의 값을 구하는 과정과 답을 서술하시오. [6점]

[2015년 정발고]

[2학년 2학기 중간 미적분2]

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